Pochodzi z Biskupca. Jest absolwentem Szkoły Głównej Planowania i Statystyki (obecnie Szkoła Główna Handlowa) w Warszawie. Z kinematografią związał się w drugiej połowie lat 70. ubiegłego wieku. Pełnił funkcję kierownika produkcji wielu znaczących tytułów wyprodukowanych w warszawskiej Wytwórni Filmów Dokumentalnych, m.in. „Zapory” (1976) Ireny Kamieńskiej (Złoty Lajkonik w Krakowie, 1977), „Odwiedzin” (1976) Radosława Piwowarskiego (Srebrny Lajkonik, 1977), „Brygady majstra Mortala” (1976) Tomasza Lengrena (Srebrny Lajkonik, 1978), Wiatr jest silniejszy (1977) Tadeusza Pałki (Brązowy Lajkonik, 1977), „Gospodarstwa” (1979) Tadeusza Pałki (Brązowy Lajkonik, Syrenka Warszawska, 1979), Czekaj na mnie (1979) Grażyny Bryżuk (Brązowa Fregata w Szczecinie, 1980), „Ballady »Romantyczność«” (1980) Grzegorza Skurskiego (Srebrny Lajkonik, Syrenka Warszawska, 1980), „Dnia dziecka” (1981) Pawła Kędzierskiego (Nagroda Główna w Oberhausen, 1981), „Transsex-u” (1988) A. Marka Drążewskiego (Brązowy Lajkonik, 1988).

W 1988 roku razem z przyjaciółmi – Zbigniewem Domagalskim, Januszem Skałkowskim i Wojciechem Szczudło – założył Przedsiębiorstwo Produkcyjno-Usługowe Kalejdoskop, przekształcone cztery lata później w Studio Filmowe Kalejdoskop, które bardzo szybko wypracowało sobie niezwykle ważne miejsce na mapie polskiego dokumentu. Jako producent – bądź współproducent – Śliwiński ma na koncie tak znaczące filmy, jak: „Tata, I Love You” (1999) Piotra Morawskiego (Srebrny Lajkonik, 1999), „Benek blues” (1999) Katarzyny Maciejko-Kowalczyk (Złoty Smok i Złoty Lajkonik, 2000), „Świat moich wujków” (2000) Krzysztofa Magowskiego (Brązowy Lajkonik, 2001), „Himilsbach. Prawdy, bujdy, czarne dziury” (2002) Stanisława Manturzewskiego i Małgorzaty Łupiny (Złoty Lajkonik, 2002), „Agnieszki tu nie ma” (2010) Pawła Jóźwiaka-Rodana (Srebrny Zamek w Poznaniu, 2011).