Urodził się 23 marca 1933 w Krakowie – zmarł 16 września 1998 w Warszawie. Studiował muzykologię na Uniwersytecie Jagiellońskim (1957). Jako pianista jazzowy zadebiutował w 1950 roku w legendarnej formacji Melomani. Sześć lat później został  uznany – w ankiecie krakowskiego tygodnika „Przekrój” – najlepszym polskim pianistą. Grywał z Piwnicy Pod Baranami, jednym z ważniejszych miejsc, gdzie rodził się rodzimy jazz, wcześniej – w okresie tzw. katakumbowym – koncertował z przyjaciółmi w swym prywatnym krakowskim mieszkaniu.

W 1958 roku założył zespół Jazz Believers, z którym debiutował na warszawskim festiwalu Jazz Jamboree (1958). Muzykę Trzaskowskiego, wykonywaną z tym zespołem, można usłyszeć w dokumencie Bogusława  Rybczyńskiego "Jazz Camping" (1959). Grał z najwybitniejszymi polskimi jazzmanami, m.in. Włodzimierzem Nahornym, Zbigniewem Namysłowskim, Jackiem Ostaszewskim, Tomaszem Stańką, Michałem Urbaniakiem. Od 1974 roku prowadził Orkiestrę Polskiego Radia i Telewizji S-1.

Zajmował się również publicystyką i krytyką muzyczną. Współautor „Leksykonu kompozytorów XX wieku”, a także redaktor haseł jazzowych w „Encyklopedii muzycznej PWM”.   Jest kompozytorem utworów fortepianowych, kameralnych i orkiestrowych, także muzyki baletowej, teatralnej i filmowej. Z filmem związał się w 1959 roku, opracowując muzycznie – na motywach piosenki Artie Shaw „Moon Ray” – ścieżkę dźwiękową "Pociągu" Jerzego Kawalerowicza. Jako autor muzyki filmowej zadebiutował dwa lata później partyturą do "Zuzanny i chłopców" (1961) Stanisława Możdżeńskiego. Pojawił się w tym filmie osobiście jako muzyk jazzowy, podobnie jak w "Niewinnych czarodziejach" (1960) Andrzeja Wajdy oraz "Był jazz" (1981) Feliksa Falka, fabularnej opowieści zainspirowanej historią słynnych Melomanów, gdzie zagrał samego siebie. Notabene, jego syn Rafał, znany polityk Platformy Obywatelskiej, występował w dzieciństwie w serialu Stanisława Lotha "Nasze podwórko" (1980).

Spośród filmów z kompozycjami Trzaskowskiego na szczególną uwagę zasługują: telewizyjny "Rekord świata" (1977) Filipa Bajona, a z produkcji kinowych – "Walkower" (1965) Jerzego Skolimowskiego, "Lekarstwo na miłość" (1965) Jana Batorego, "Wezwanie" (1971) Wojciecha Solarza, "Dreszcze" (1981) Wojciecha Marczewskiego oraz "Gwiazda Piołun" (1988) Henryka Kluby, gdzie muzyka momentami przejmuje funkcje narracyjne snutej opowieści. Jest w jego dorobku także wiele interesujących partytur do filmów dokumentalnych, m.in. Uniwersytety (1965) Zbigniewa Bochenka, Mazury (1968) Sergiusza Sprudina, Kaskaderzy (1975) Tomasza Lengrena oraz animowanych, m.in. Z górki na pazurki (1967) Krzysztofa Dębowskiego, "Jeż szuka rodziny" (1978) Janiny Hartwig. W 1983 roku Stanisław Szlachtycz nakręcił film baletowy Nihil est, oparty na skomponowanym przez niego w 1972 roku balecie telewizyjnym na ośmiu wykonawców jazzowych i orkiestrę symfoniczną, uhonorowany III nagrodą (I i II nie przyznano) w Konkursie Komitetu ds. Radia i Telewizji oraz Nagrodą Główną w Konkursie Związku Kompozytorów Polskich.

Andrzej Trzaskowski to „inżynier muzyki, który wszystko musiał sprawdzić od początku do końca z matematyczną dokładnością” – powiedział o nim Jan Ptaszyn Wróblewski przy okazji nagrania płyty „Moi pierwsi mistrzowie: Komeda, Kurylewicz, Trzaskowski”.